Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）的中点，连接，，证明四边形是平行四边形可得，故而平面；

（2）以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算与的夹角的余弦值得出答案．

（1）证明：取的中点，连接，，

，分别是，的中点，

，，

又，，

，，

四边形是平行四边形，，

又平面，平面，

平面．

（2）解：，，

又，故，

以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，

是的中点，是的三等分点，

，1，，，，，

，，，，0，，，2，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令可得，，，

，

，

直线与平面所成角的正弦值为．