Question

【题目】对于正整数、，定义，其中、为非负整数，，且．求最大的正整数，使得存在正整数，对于任意的正整数，都有．证明你的结论．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

将满足条件“存在正整数，，使得只要正整数，就有”的最大正整数记为．显然，本题所求的最大正整数即为．

（1）先证．

事实上，，所以．

又当时，，而，所以．

因此，．

（2）设已求出，且为偶数．显然，易知满足的必要条件是：存在，使得只要，就有．

令．由可得．

若取，由可知．由此可得，．

于是，．

因此，．

故有．

由于为偶数，从而．

因为，所以，．

因此总有．

另一方面，若取，由于，

对每个，令，

那么，或者，；或者，．

两种情况下均有．因此，．

此外，因为为偶数，若，由可得；若，

由也可得．因此也是偶数．

这样，已完成了归纳证明：．

由逐次推出，，，，．

于是，所求的最大正整数．