Question

【题目】如图，在四棱锥ABCD中，和都是等边三角形，平面PAD平面ABCD，且，．

（1）求证：CDPA；

（2）E，F分别是棱PA，AD上的点，当平面BEF//平面PCD时，求四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由已知即可证得：，且，再利用是等边三角形即可证得：，再利用面面垂直的性质即可证得：平面，问题得证.

（2）利用平面BEF//平面PCD可得：BF//CD，结合可得，即可求得：DF=，从而求得，利用（1）可得四棱锥的高，再利用锥体体积公式计算即可.

证明：（1）因为是等边三角形，所以

又，，

所以，所以，且．

又是等边三角形，所以，

所以．

又平面平面，平面平面，平面

所以平面．

所以CDPA．

（2）因为平面BEF//平面PCD，

所以BF//CD，EF//PD，又

所以．

又在直角三角形ABD中，DF=，

所以．

所以．

由（1）知平面，故四棱锥的体积．