Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点到点的距离与到直线的距离相等．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点分别作射线、交曲线于不同的两点、，且．试探究直线是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 直线过定点．

【解析】

（1）根据题意得到，化简得到答案.

（2）设直线的方程为，联立方程利用韦达定理得到，，根据得到，故代入方程得到答案.

（1）设，依题意，即，

化简得，∴曲线的轨迹方程为．

（2）直线经过定点

证明：如图，依题意，直线斜率不能为0，所以设直线的方程为

联立得， ①，

设、，则，．

又，∴，即，

即，

又，，∴，

∴，

依题意，直线不经过，∴，

所以，．此时代入①式恒成立．

而当时，直线方程为，即，

即直线过定点．

综上，直线过定点．