Question

【题目】已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.

（1）若，是否存在，有？请说明理由；

（2）若（、为常数，且）对任意，有，试求出、满足的充要条件；

（3）若，，试确定所有，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明.

Answer 1

【答案】（1）不存在,理由见解析

（2），其中是大于等于的整数

（3）当为偶数时，不存在，当为奇数时，存在,证明见解析

【解析】

（1）利用数列的通项公式可得的方程，再利用奇偶性分析可得不存在满足条件的.

（2）利用的通项公式，先取得到必要条件，再证明该条件为充分条件，从而得到原命题的充要条件.

（3）先取出中存在某个连续项的和，根据的通项的特征得到前者为不小于3的奇数，从而得到的性质.

（1）若存在，有，则，

所以，左边是奇数，右边是偶数，矛盾，

故不存在，使得.

（2）先考虑必要性：

因为对任意，有，取，

则即，故，其中，

令，故，其中且为整数.

所以“，且为整数”是“任意，有”成立的必要条件.

下面考虑充分性，

若，，则，

故对任意的，

总有，取，则且，

故任意，有成立.

所以“任意，有”成立的充要条件为“，且为整数”.

（3）数列中连续项的和为，

因为为中的某一项，故，

所以为不小于的奇数，故为正奇数，

而，而均为奇数，总的个数为，

所以当且仅当为奇数时，的和才为奇数，

综上为正奇数时，存在连续项的和为中的某一项，为正偶数时，不存在连续项的和为中的某一项.