【题目】已知抛物线E:,圆C:
.
若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l方程;
在
的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点
使
为坐标原点
?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在定点
【解析】
求得抛物线的焦点,设出直线的方程,运用直线和圆相切的条件:
,解方程可得所求直线方程;
设出A,B的坐标,联立直线方程和抛物线方程,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简整理,解方程可得t,即M的坐标,即可得到结论.
由题意可得抛物线的焦点
,
当直线的斜率不存在时,过F的直线不可能与圆C相切,设直线的斜率为k,方程设为,
即,由圆心
到直线的距离为
,
当直线与圆相切时,,解得
,
即直线方程为;
可设直线方程为
,
,
,
联立抛物线方程可得,则
,
,
x轴上假设存在点使
,
即有,可得
,
即为,
由,
,
可得,
即,即
,
符合题意;
当直线为,由对称性可得
也符合条件.
所以存在定点使得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为,高为
,圆锥的母线长为
.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1);
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?
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【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.该原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图,在空间直角坐标系中的平面内,若函数
的图象与
轴围成一个封闭的区域
,将区域
沿
轴的正方向平移8个单位长度,得到几何体如图一,现有一个与之等高的圆柱如图二,其底面积与区域
的面积相等,则此圆柱的体积为__________.
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【题目】如图,矩形ABCD中,,
,F分别在线段BC和AD上,
,将矩形ABEF沿EF折起
记折起后的矩形为MNEF,且平面
平面ECDF.
Ⅰ
求证:
平面MFD;
Ⅱ
若
,求证:
;
Ⅲ
求四面体NFEC体积的最大值.
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【题目】如图,已知椭圆,
分别为其左、右焦点,过
的直线与此椭圆相交于
两点,且
的周长为8,椭圆
的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐标系中,已知点
与点
,过
的动直线
(不与
轴平行)与椭圆相交于
两点,点
是点
关于
轴的对称点.求证:
(i)三点共线.
(ii).
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