Question

3．记函数f（x）=$\sqrt{x-1}$+lg（3-x）的定义域为集合M，函数g（x）=x²-2x+3的值域为集合N．
（1）求M∩N．
（2）设集合P={x|x＜m}，若（M∩N）⊆P，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域确定出M，求出g（x）的值域确定出N，找出M与N的交集即可．
（2）根据两个集合的交集是集合M的子集，根据集合之间的关系写出关于p的不等式，得到结果．

解答 解：（1）由f（x）=$\sqrt{x-1}$+lg（3-x）得到$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，
解得：1≤x＜3，即M=[1，3）；
由g（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，得到N=[2，+∞），
则M∩N=[2，3）．
（2）设集合P={x|x＜m}=（-∞，m），（M∩N）⊆P，
∴m≥3，
∴实数m的取值范围[3，+∞）．

点评 本题考查集合的运算及集合关系中的参数取值问题，考查对数函数的定义域，本题解题的关键是整理出要用的函数，本题是一个基础题．