Question

18．已知函数f（x）=x²（x-a），其中a∈R．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）的过点（1，0）的切线方程．
（2）讨论函数y=f（x）在[0，4]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）设出切点坐标是（m，m²（m-1），表示出切线方程，求出m的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x²（x-1），
f′（x）=2x（x-1）+x²=3x²-2x，
设切点坐标是：（m，m²（m-1），
则切线斜率k=3m²-2m，
故切线方程是：y-m²（m-1）=（3m²-2m）（x-m），
将（1，0）代入切线方程得：
-m²（m-1）=（3m²-2m）（1-m），
解得：m=0或m=1，
m=0时，切线方程是：y=0，
m=1时，切线方程是：x-y-1=0；
（2）f（x）=x²（x-a），
f′（x）=2x（x-a）+x²=3x²-2ax=x（3x-2a），
令f′（x）=0，解得：x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
①$\frac{2a}{3}$≤0时，f′（x）≥0在[0，4]恒成立，
故f（x）在[0，4]递增，
②0＜$\frac{2a}{3}$＜4时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2a}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{2a}{3}$，
故f（x）在[0，$\frac{2a}{3}$）递减，在（$\frac{2a}{3}$，4]递增，
③$\frac{2a}{3}$≥4时，f′（x）≤0在[0，4]恒成立，
故f（x）在[0，4]递减．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．