Question

9．已知函数y=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q．
（1）若a＞0且[2，3]∩Q=∅，求实数a的取值范围；
（2）若[2，3]⊆Q，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，a＞0，Q⊆（-∞，2）∪（3，+∞），即可求实数a的取值范围；
（2）P⊆Q，则说明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[2，3]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题即可解决．

解答 解：（1）由题意，a＞0，Q⊆（-∞，2）∪（3，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-4+2≤0}\\{9a-6+2≤0}\end{array}\right.$，∴a≤$\frac{4}{9}$；
∵a＞0
∴a的取值范围是0＜a≤$\frac{4}{9}$．
（2）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，
若P⊆Q，则说明不等式ax²-2x+2＞0在x∈[2，3]上恒成立，
即不等式a＞$\frac{2}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$在x∈[2，3]上恒成立，
令u=$\frac{2}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$，则只需a＞u_max即可．
又u=$\frac{2}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$=-2（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$．
当x∈[2，3]时，$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，从而x=2时，u_max=$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{2}$，
所以实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查对数函数的定义域，集合关系中的参数取值问题．想办法分离参数转化为求函数的最值问题是关键．