Question

19．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{（e+1）x}$在点（1，f（1））处的切线与直线y=3平行．
（Ⅰ）求函数的f（x）极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（1）=0，可得a=1，从而求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（Ⅱ）不等式 f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，即为 $\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，令g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，通过导数，求得 $\frac{g（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，令h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，运用导数证得h（x）＜h（1）=$\frac{2}{e+1}$，原不等式即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{lnx+a}{（e+1）x}$，
f′（x）=$\frac{（e+1）（1-lnx-a）}{{[（e+1）x]}^{2}}$，
若函数f（x）=$\frac{lnx+a}{（e+1）x}$在点（1，f（1））处的切线与直线y=3平行，
则f′（1）=0，即1-ln1-a=0，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{lnx+1}{（e+1）x}$，f′（x）=$\frac{-lnx}{（e+1{）x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，即lnx＜0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，即lnx＞0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
f（x）_极大值=f（1）=$\frac{1}{e+1}$，无最小值；
（Ⅱ）证明：不等式 f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，
即为$\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，
令g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，则g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令φ（x）=x-lnx，则φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2   
故 $\frac{g（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，
令h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，则h′（x）=$\frac{{2e}^{x-1}（1{-e}^{x}）}{{（{xe}^{x}+1）}^{2}}$，
∵x＞1∴1-e^x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数．
∴x＞1时，h（x）＜h（1）=$\frac{2}{e+1}$，
所以$\frac{g（x）}{e+1}$＞h（x），即f（x）（x+1）＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题．