Question

2．设数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N^*，证明：
（1）数列{a_n}为递增数列；
（2）$\frac{n}{2n+1}$≤a_n≤$\frac{2n-1}{2n+1}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）运用a_n+1-a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$，作差累加即可得证；
（2）利用a_n+1＞a_n放缩可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞-$\frac{1}{{n}^{2}}$，通过叠加可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-[$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}}$]，n≥2，再利用放缩裂项可知$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，并项相加可知a_n≤$\frac{2n-1}{2n+1}$，利用a_n＜1．放缩可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＜-$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，通过叠加可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-[$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}+1}$]，再利用放缩裂项可知$\frac{1}{{n}^{2}+1}$＞$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加可知a_n≥$\frac{n}{2n+1}$

解答 证明：（1）∵a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N^*，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N^*，
∴a₂-a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$，a₃-a₂=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$，…a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$，
累加可得a_n-a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$≥0，
∴a_n≥a₁＞0，
∴数列{a_n}为正项数列，
∴a_n+1＞a_n恒成立，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$＞0，
∴数列{a_n}为递增数列，
（2）先证a_n≤$\frac{2n-1}{2n+1}$，
当n=1时显然成立，
由（1）知a_n＞0，a_n+1-a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$，
∴a_n+1＞a_n恒成立，
∴a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{n}^{2}}$，
两端同时除以a_na_n+1得$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＞-$\frac{1}{（n-1）^{2}}$，
…，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-$\frac{1}{{1}^{2}}$，
叠加得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-[$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}}$]，n≥2，
∵$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{1}^{2}}$）=-（2-$\frac{1}{n-1}$）=$\frac{1}{n-1}-2$，
又a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-3＞$\frac{1}{n-1}-2$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$＞1+$\frac{1}{n-1}$=$\frac{n}{n-1}$，
∴a_n＜$\frac{n-1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1-$\frac{2}{2n+1}$=$\frac{2n-1}{2n+1}$，
再证a_n≥$\frac{n}{2n+1}$，
又a₁=$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{2+1}$，
∵a_n＜1．
∴a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，
∴a_n＞$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$•a_n+1，
∴a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$＞a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$•$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$•a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$a_na_n+1，
 两端同时除以a_na_n+1得$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＜-$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＜-$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$，
…，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-$\frac{1}{{1}^{2}+1}$，
叠加得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-[$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}+1}$]，
又$\frac{1}{{n}^{2}+1}$＞$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+…+1-$\frac{1}{2}$）=-（1-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜$\frac{1}{{a}_{n}}$-3＜-（1-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$＜3-1+$\frac{1}{n}$=$\frac{2n+1}{n}$，
∴a_n≥$\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$≤a_n≤$\frac{2n-1}{2n+1}$，n∈N^*．

点评 本题考查了数列和不等式的关系，关键是放缩和裂项求和，累加求和，考查了学生的运算能力，转化能力，属于难题．