Question

【题目】已知，分别是的边，上的一点，，将沿折起为，使点位于点的位置，连接，，.

（1）若，分别是，的中点，平面与平面的交线为，证明：；

（2）若平面平面，与的面积分别为4和9，，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据图形的关系可得，从而得到角的关系，即，同理得，根据线面垂直判定定理可得平面，即可得到，由线面平行性质定理可得，进而得结论；

（2）过点在平面内作，垂足为，交于，连接，，运用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判断和性质，结合三角形的面积公式和三角形的相似，以及勾股定理和棱锥的体积公式，计算可得所求值.

（1）因为，分别是，的中点，沿折起为，

所以，

所以，，

所以，所以.

又，同理有，

而，所以平面.

而平面，所以，

又为平面与平面的交线，所以，所以.

（2）如图所示，过点在平面内作，垂足为，交于，连接，.

因为平面平面，所以平面.而平面，所以.

由，易知，而沿折起为，所以.

所以平面，所以，由此，

所以平面，而平面，所以.

由已知，与的面积分别为4和9，，易求，

由，可得，所以，

在中，，.

所以，

故三棱锥的体积

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