Question

【题目】已知函数f（x）＝eax﹣x﹣1，且f（x）≥0.

（1）求a；

（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）a＝1（2）存在；

【解析】

（1）当时，判断出不恒成立.当时，利用导数求得的最小值，根据这个最小值为非负数，构造函数并结合导数，求得的值.

（2）首先求得的表达式，构造函数，由，结合零点存在性定理，判断出存在，并求得的值.

（1）若a≤0，则对一切x＞0，f（x）＝eax﹣x﹣1＜0，不符合题意，

若a＞0，f′（x）＝aeax﹣1，令f′（x）＝aeax﹣1＝0可得x，

当x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

故当x时，函数取得最小值f（），

由题意可得，有0①，

令g（t）＝t﹣tlnt﹣1，则g′（t）＝﹣lnt，

当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，

故当t＝1时，g（t）取得最大值g（1）＝0，当且仅当1即a＝1时①成立，

综上a＝1；

（2）由题意可知，k1，

令t（x）＝f′（x）﹣k＝ex，则可知y＝t（x）在[x1，x2]上单调递增，

且t（x1）[（x2﹣x1）﹣1]，t（x2）[e（x1﹣x2）﹣1]，

由（1）可知f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，x＝0时取等号，

∴（x2﹣x1）﹣1≥0，e（x1﹣x2）﹣1≥0，

∴t（x1）＜0，t（x2）＞0，

由零点判定定理可得，存在x0∈（x1，x2），使得t（x0）＝0且由解得，

综上可得，存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立