Question

【题目】在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.

（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;

（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）λ＝2

【解析】分析：以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点的坐标，
（1）求出异面直线 与1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）
（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数的值即可．

详解：

(1)以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，

E，

于是，.

由cos＝＝.

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.

（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0

得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) . ………8分

由D1E＝λEO，则E，=.10分

又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.

得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) .12分

因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得 ．