Question

2．若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}（{1-{a_n}}）{{log}_2}（{1-{a_{n+1}}}）}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在已知的数列递推式中取n=1求得数列首项，取n=n-1得另一递推式，两式作差可得a_n=2a_n-1-1（n≥2），然后利用构造法可得数列{a_n-1}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）由数列{a_n-1}是以2为公比的等比数列求得a_n，代入b_n=log₂（a_n+1）后求出b_n=n，再代入后利用裂项相消法求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁+1，解得a₁=-1，
当n＞1时，由题意，S_n-1=2a_n-1+（n-1）
所以，S_n-S_n-1=（2a_n+n）-[2a_n-1-（n-1）]=2a_n-2a_n-1+1，即a_n=2a_n-1-1，
所以 a_n-1=2（a_n-1-1），
即 $\frac{{{a_n}-1}}{{{a_{n-1}}-1}}=2$
所以，数列{a_n-1}是首项为-2，公比为2等比数列；
（2）由上，${a_n}-1=-2•{2^{n-1}}=-{2^n}$，
所以${a_n}=1-{2^n}$，
${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}（{1-{a_n}}）{{log}_2}（{1-{a_{n+1}}}）}}=\frac{1}{{{{log}_2}{2^n}•{{log}_2}{2^{n+1}}}}=\frac{1}{{n•（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以，${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．