Question

17．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”；
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”
（Ⅰ）在五年级一班男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；
（Ⅱ）若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率为P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．
（Ⅱ）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，
至少有两人的成绩是合格的概率为P，则P=P（A）+P（B），
又男生共12人，其中有8人合格，从而P（A）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$，…（2分）
P（B）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$，…（4分）所以P=$\frac{42}{55}$．…（6分）
（Ⅱ）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2．
则P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{0}{C}_{10}^{2}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{5}{17}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{80}{153}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{10}^{0}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{28}{153}$，（每项1分）  …（10分）
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

∴E（X）=$0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}$+2×$\frac{28}{153}$=$\frac{8}{9}$（人）．（未化简不扣分）…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．