Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=（cos²x-sin²x，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，cos（$\frac{π}{2}$+2x）），若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，则f（x）（　　）

• A． 图象关于$（{-\frac{π}{6}，0}）$中心对称
• B． 图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称
• C． 在区间$[{-\frac{π}{6}，0}]$上单调递增
• D． 周期为π的奇函数

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积运算法则计算$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$后，得到函数f（x）的解析式，由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得函数的中心对称点坐标，可判断A错误；由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数的对称轴方程，可判断B错误；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数的单调递增区间，可判断C正确；由于f（0）=2sin$\frac{π}{6}$=1≠0，即可判断D错误．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cos²x-sin²x，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，cos（$\frac{π}{2}$+2x）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=cos²x-sin²x-$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$+2x）
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得函数的中心对称点坐标为：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，由于令$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$=-$\frac{π}{6}$，解得：k=-$\frac{1}{6}$∉Z，故A错误；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数的对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，由于令$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，解得：k=-$\frac{2}{3}$∉Z，故B错误；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，当k=0时，$[{-\frac{π}{6}，0}]$?[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，故C正确；
由于f（0）=2sin$\frac{π}{6}$=1≠0，函数不是奇函数，故D错误．
故选：C．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．