Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

（1）A=120°；（2）当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．

试题分析：（1）根据正弦定理，设＝2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．
（2）根据（1）中A的值，可知c=60°-B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．
试题解析：（1）设=2R
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC           .2分
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程两边同乘以2R
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c               2分
整理得a²=b²+c²+bc                .1分
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA                 1分
故cosA=-，A=120°             2分
（2）由（1）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）         1分
=             2分
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1       .1分