Question

设函数f（x）=x³+4x
（1）用定义证明f（x）在R上为奇函数；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）先看f（x）的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）是相等还是互为相反数．
（2）先判断后证明，证明时先在给定的区间上任取两变量，界定大小，然后作差变形看符号．

解答：解：（1）由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．（2分）
因为f（-x）=（-x）³+4（-x）=-x³-4x=-f（x），
所以f（x）是奇函数（6分）
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数（7分）
证明：任意取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂f（x₁）-f（x₂）=（x₁³-x₂³）+4（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+4）
=(x1-x2)[(x1+

x2

2

)2+

3 x 2 2

4

+4]（11分）
因为x₁＜x₂所以x₁-x₂＜0
因为(x1+

x2

2

)2+

3 x 2 2

4

+4＞0显然成立
所以f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．（14分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性定义的应用．