Question

20．设P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$，点A（2，0），B（0，3），若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，O是坐标原点，则λ+μ的取值范围是（　　）

• A． [2，4]
• B． [$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{6}$]
• C． [$\frac{5}{6}$，2]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 可以作出不等式组所表示的平面区域，而由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$可以得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$，从而得到$λ+μ=\frac{x}{2}+\frac{y}{3}$，可设$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=z$，可变成$y=-\frac{3}{2}x+3z$，从而该方程表示斜率为$-\frac{3}{2}$的一族平行直线，直线在y轴上的截距最小时z最小，截距最大时z最大，从而结合图形便可求出z的最大、最小值，即得出λ+μ的取值范围．

解答 解：如图，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$所表示的区域为图中阴影部分：

由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$得，（x，y）=λ（2，0）+μ（0，3）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$；
∴$λ+μ=\frac{x}{2}+\frac{y}{3}$；
设$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=z$，则$y=-\frac{3}{2}x+3z$，表示斜率为$-\frac{3}{2}$的一族平行直线，3z为直线在y轴上的截距；
由图形看出，当直线过C（1，1）时，截距最小，即z最小；
此时$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=z$，∴z的最小值为$\frac{5}{6}$；
当直线过D（3，1）时，截距最大，即z最大；
此时$\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=z$，∴z的最大值为$\frac{11}{6}$；
∴λ+μ的取值范围为$[\frac{5}{6}，\frac{11}{6}]$．
故选：B．

点评 考查线性规划的概念，能找出二元一次不等式组所表示的平面区域，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘运算，以及直线的斜截式方程，利用线性规划的方法求最值．