Question

18．设函数$f（x）=alnx+\frac{1-a}{2}{x^2}-bx$（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，根据f′（1）=0，解出即可；
（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=\frac{a}{x}+（1-a）x-b$，
由题设知f′（1）=a+1-a-b=0，解得b=1．
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）知，$f（x）=alnx+\frac{1-a}{2}{x^2}-x$，
${f^'}（x）=\frac{a}{x}+（1-a）x-1=\frac{{（1-a）{x^2}-x+a}}{x}$
=$\frac{（（1-a）x-a）（x-1）}{x}=\frac{1-a}{x}（x-\frac{a}{1-a}）（x-1）$，
①当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，$0＜\frac{a}{1-a}≤1$，
则$0＜x＜\frac{a}{1-a}$，或x＞1时，f′（x）＞0；$\frac{a}{1-a}＜x＜1$时，f′（x）＜0；
故f（x）在$（0，\frac{a}{1-a}）$，（1，+∞）上单调递增，在$（\frac{a}{1-a}，1）$上单调递减；
②当$\frac{1}{2}＜a＜1$时，$\frac{a}{1-a}＞1$，
则0＜x＜1，或$x＞\frac{a}{1-a}$时，f′（x）＞0；$1＜x＜\frac{a}{1-a}$时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1），$（\frac{a}{1-a}，+∞）$上单调递增，在$（1，\frac{a}{1-a}）$上单调递减；
综上，当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，f（x）在$（0，\frac{a}{1-a}）$，（1，+∞）上单调递增，在$（\frac{a}{1-a}，1）$上单调递减；
当$\frac{1}{2}＜a＜1$时，f（x）在（0，1），$（\frac{a}{1-a}，+∞）$上单调递增，在$（1，\frac{a}{1-a}）$上单调递减．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．