Question

2．若函数f（x）=a^x+1+a^x-1（a＞0，且a≠1）在[1，3]上的最大值和最小值之和为9，则a的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=a^x在[1，3]上为单调减函数，根据函数在[1，3]上的最大值与最小值和为9，求出a②a＞1，函数y=a^x在[1，3]上为单调增函数，根据函数在[1，3]上的最大值与最小值和为10，求出a即可．

解答 解：①当0＜a＜1时，
函数y=a^x在[1，3]上为单调减函数
∴函数f（x）=a^x+1+a^x-1在[1，3]上的最大值与最小值分别为a²+1，a⁴+a²，
∵函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值之和为9，
∴a²+1+a⁴+a²=9，
∴a=$\sqrt{2}$（舍）；
②当a＞1时，
函数y=a^x在[1，3]上为单调增函数
∴函数f（x）=a^x+1+a^x-1在[1，3]上的最小值与最大值分别为a²+1，a⁴+a²，
∵函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值之和为9，
∴a²+1+a⁴+a²=9，
∴a=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意运用指数函数的单调性，并对a进行讨论，属于基础题．