【题目】如图所示,在长方体中,
,点E是棱
上的一个动点,若平面
交棱
于点
,给出下列命题:
①四棱锥的体积恒为定值;
②存在点,使得
平面
;
③对于棱上任意一点
,在棱
上均有相应的点
,使得
平面
;
④存在唯一的点,使得截面四边形
的周长取得最小值.
其中真命题的是____________.(填写所有正确答案的序号)
【答案】①②④
【解析】
对①,将四棱锥分成两部分
与
分析即可
对②,根据线面垂直的判定,注意用到再利用线面垂直与线线垂直的判定即可.
对③,举出反例即可.
对④,四边形的周长
,展开长方体分析最值即可.
对①,,又三棱锥
底面
不变,且因为
∥底面
,故
到底面
的距离即
上的高长度不变.故三棱锥
体积一定,即四棱锥
的体积恒为定值,①正确.
对②,因为,且长方体
,故四边形
为正方形,
故.要
平面
则只需
,又
,故只需
面
.
又平面
,故只需
即可.因为
,故当
时存在点
,使得
,即
平面
.故②正确.
对③,当在
时总有
与平面
相交,故③错误.
对④,四边形的周长
,分析
即可.
将矩形沿着
展开使得
在
延长线上时,此时
的位置设为
,则线段
与
的交点即为使得截面四边形
的周长取得最小值时的唯一点
.故④正确.
故答案为:①②④
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【题目】已知椭圆的离心率为
,右焦点为
,以原点
为圆心,椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过定点的直线
交椭圆
于
两点,连接
并延长交
于
,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
对于各项均为整数的数列,如果
(
=1,2,3,…)为完全平方数,则称数
列具有“
性质”.
不论数列是否具有“
性质”,如果存在与
不是同一数列的
,且
同
时满足下面两个条件:①是
的一个排列;②数列
具有“
性质”,则称数列
具有“变换
性质”.
(I)设数列的前
项和
,证明数列
具有“
性质”;
(II)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换性质”,具有此性质的数列请写出相应的数列
,不具此性质的说明理由;
(III)对于有限项数列:1,2,3,…,
,某人已经验证当
时,
数列具有“变换
性质”,试证明:当”
时,数列
也具有“变换
性质”.
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【题目】用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的四位数.
(1)在组成的四位数中,求所有偶数的个数;
(2)在组成的四位数中,求比2430大的个数.
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【题目】已知椭圆 :
(
)的离心率
,直线
被以椭圆
的短轴为直径的圆截得的弦长为
.
(1)求椭圆 的方程;
(2)过点 的直线
交椭圆于
,
两个不同的点,且
,求
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数,
),以
为极点,
轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
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