如图.在多面体ABCD-A1B1C1D1中.上.下底面平行且均为矩形.相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等.侧棱延长后相交于E.F两点.上.下底面矩形的长.宽分别为c.d与a.b.且a＞c.b＞d.两底面间的距离为h. (Ⅰ)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小, (Ⅱ)证明:EF∥面ABCD, (Ⅲ)在估测该多面体的体积时.经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在多面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；

（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

试判断V_估与V的大小关系，并加以证明.

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

答案：
解析：

（Ⅰ）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G.如图

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，

∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG为所求二面角的平面角.过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H.

由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形.

∴PG=（b－d），

又B₁G=h，

∴tanB₁PG=（b＞d），

∴∠B₁PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.

（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，

又CD是面ABCD与面CDEF的交线，

∴AB∥面CDEF.

∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，

∴AB∥EF.

∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，

∴EF∥面ABCD.

（Ⅲ）V_估＜V.

证明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0.

∴V_估＜V.

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