Question

【题目】设复数z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z＝－3＋4i.

(1)求z2及|z2|.

(2)若z1＝z2，求θ与a2的值．

Answer 1

【答案】(1) z2＝1＋2i，|z2|＝；(2) θ＝，a2＝4.

【解析】

（1）利用待定系数法设，根据复数的运算法则以及其相等的充要条件可求出以及；（2）根据可得关于和的方程组，解出即可.

(1)设，则，

因此.

所以，解得或

所以z2＝1＋2i，或z2＝－1－2i.

又因为z2在复平面内对应的点在第一象限，则z2＝－1－2i应舍去，

故z2＝1＋2i，|z2|＝.

(2)由(1)知(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i＝1＋2i，

即解得cos θ＝，

因为θ∈(0，π)，所以θ＝，所以a2＝1＋4sin2θ＝1＋4×＝4.

综上可知θ＝，a2＝4.