Question

【题目】如图，在中，，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.

（1）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；

（2）求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.

Answer 1

【答案】(1)； (2).

【解析】

（1）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由为的中点，故平移时很容易应联想中位线，作，垂足为连接，则，是异面直线与所成的角，利用解三角形的有关知识夹角问题即可；（2）本题的设问是递进式的，求直线与平面所成的角，是与平面所成角，

，当最小时，最大.

（1）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，所以DE∥AO，

∴∠CDE（或其补角）是异面直线AO与CD所成的角．

在中，，

∴，

又，所以，

∴在中， ，

所以异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为.

（2）由（1）知，平面，

∴是与平面所成的角，并且，

当最小时，最大，这时，，垂足为，

所以，∴，

所以与平面所成的角的最大时的正切值为.