Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在点（）处的切线方程；

（2）证明：当时，。

Answer 1

【答案】（1） (2)见解析

【解析】

（1），由f′（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程；

（2）可得=﹣．可得f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0，只需（x）≥﹣e，即可．

（1）=﹣．

∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，

∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x．

即2x﹣y﹣1=0为所求．

（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，

可得=﹣．

令f′（x）=0，可得，

当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，

注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0

函数f（x）的图象如下：

∵a≥1，∴，则≥﹣e，

∴f（x）≥﹣e，

∴当a≥1时，f（x）+e≥0．