【题目】已知函数f(x)=|2x﹣1|+|x+1|.
(1)求函数f(x)的值域M;
(2)若a∈M,试比较|a﹣1|+|a+1|, ,
的大小.
【答案】
(1)解: ,
根据函数f(x)的单调性可知,
当 时,
.
所以函数f(x)的值域
(2)解:因为a∈M,所以 ,所以
.
因为|a﹣1|+|a+1|=a﹣1+a+1=2a≥3,
所以 ,
因为 =
=
,
又由 ,知a﹣1>0,4a﹣3>0,
所以 ,
所以 ,
所以|a﹣1|+|a+1|>
【解析】(1)求出函数的分段函数的形式,求出f(x)的最小值,从而求出函数的值域即可;(2)根据绝对值的性质,求出a的范围,根据作差法比较即可.
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题.
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【题目】2017年10月18日至24日,中国共产党第十九次全国人民代表大会在北京顺利召开.大会期间,北京某高中举办了一次“喜迎十九大”的读书读报知识竞赛,参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各100名学生.图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图.
(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩;
(2)若称成绩在68分以上的学生知识渊博,试以上述数据估计该高一、高二两个年级学生的知识渊博率;
(3)完成下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异.
分类 | 成绩低于60分人数 | 成绩不低于60分人数 | 总计 |
高一年级 | |||
高二年级 | |||
总计 |
附:
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
K2=.
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【题目】某高中社团进行社会实践,对岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查,若开通“微博”的称为“时尚族”,否则称为“非时尚族”,通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
完成以下问题:
(Ⅰ)补全频率分布直方图并求的值;
(Ⅱ)从岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取
人参加网络时尚达人大赛,其中选取
人作为领队,记选取的
名领队中年龄在
岁的人数为
,求
的分布列
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【题目】如图,点C在以AB为直径的圆O上,PA垂直于圆O所在的平面,G为△AOC的重心.
(1)求证:平面OPG⊥平面PAC;
(2)若PA=AB=2AC=2,求二面角A﹣OP﹣G的余弦值.
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)=a+ (a,b∈R)有最大值和最小值,且最大值与最小值之和为6,则3a﹣2b=( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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【题目】已知椭圆 的离心率为
,左右焦点分别为F1 , F2 , 以椭圆短轴为直径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过点F1、斜率为k1的直线l1与椭圆E交于A,B两点,过点F2、斜率为k2的直线l2与椭圆E交于C,D两点,且直线l1 , l2相交于点P,若直线OA,OB,OC,OD的斜率kOA , kOB , kOC , kOD满足kOA+kOB=kOC+kOD , 求证:动点P在定椭圆上,并求出此椭圆方程.
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【题目】先阅读下列题目的证法,再解决后面的问题.
已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求证:a+a≥.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a.
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4-8(a+a)≤0,从而得a+a≥.
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请由上述结论写出关于a1,a2,…,an的推广式;
(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足向量 =(cosA,cosB),
=(a,2c﹣b),
∥
.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2 ,求△ABC面积的最大值.
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