Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在的平面，G为△AOC的重心．
（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；
（2）若PA=AB=2AC=2，求二面角A﹣OP﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，延长OG交AC于点M．

因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点．

因为O为AB的中点，所以OM∥BC．

因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC．

因为PA⊥平面ABC，OM平面ABC，所以PA⊥OM．

又PA平面PAC，AC平面PAC，PA∩AC=A，所以OM⊥平面PAC．

即OG⊥平面PAC，又OG平面OPG，

所以平面OPG⊥平面PAC

（2）解：以点C为原点， 方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，

则C（0，0，0）， ，

则 ．

平面OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量 ，

则

令z=1，得 ．

过点C作CH⊥AB于点H，由PA⊥平面ABC，

易得CH⊥PA，又PA∩AB=A，所以CH⊥平面PAB，即CH为平面PAO的一个法向量．

在Rt△ABC中，由AB=2AC，得∠ABC=30°，则 ．

所以 ，

所以 ．

设二面角A﹣OP﹣G的大小为θ，

则

即二面角A﹣OP﹣G的余弦值为 ．

【解析】（1）延长OG交AC于点M．可得OM∥BC．由AB是圆O的直径，得OM⊥AC．由PA⊥平面ABC，可得OM⊥平面PAC．即OG⊥平面PAC，证得平面OPG⊥平面PAC．（2）以点C为原点， 方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0）， 利用向量法求解．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．