Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，左右焦点分别为F1 ， F2 ， 以椭圆短轴为直径的圆与直线 相切．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点F1、斜率为k1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过点F2、斜率为k2的直线l2与椭圆E交于C，D两点，且直线l1 ， l2相交于点P，若直线OA，OB，OC，OD的斜率kOA ， kOB ， kOC ， kOD满足kOA+kOB=kOC+kOD ， 求证：动点P在定椭圆上，并求出此椭圆方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由以椭圆短轴为直径的圆与直线 相切，则圆心O到直线的距离d=b，
∴b=d= =
由e= = ，则a=2c，
a2=c2+b2=c2+3，解得：a=2，c=1，
∴椭圆E的方程
（Ⅱ）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）．
当直线l1、l2斜率存在时，l1的方程为y=k1（x+1），l2的方程为y=k2（x﹣1），
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），
联立 ，得到（3+4k12）x2+8k12x+4k12﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
同理x3+x4= ，x3x4= ．（*）
∵kOA= ，kOB= ，kOA+kOB= + = = ，
同理可得：kOC+kOD= ．
由kOA+kOB=kOC+kOD ， 则 = ．
整理得：k1k2=﹣3．
设点P（x，y），则 =﹣3，（x≠±1）
整理得： ，（x≠±1）
由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，
∴椭圆的标准方程：
【解析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，即可求得b，利用椭圆的离心率及a2=c2+b2 ， 即可求得a的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线l1或l2斜率不存在时，求得P点坐标，当直线l1、l2斜率存在时，可得l1的方程为y=k1（x+1），l2的方程为y=k2（x﹣1）．与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出k1与k2的关系，利用直线的斜率，即可求得椭圆方程．