Question

【题目】先阅读下列题目的证法，再解决后面的问题．

已知a1，a2∈R，且a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.

证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，则f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.

因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，

所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.

(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请由上述结论写出关于a1，a2，…，an的推广式；

(2)参考上述证法，请对你推广的结论加以证明．

Answer 1

【答案】（1）若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，则a＋a＋…＋a≥；（2）见解析.

【解析】

分析：（1）由已知中，求证及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性公式，若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，则；

（2）观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明.

详解：(1)解　若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，

则.

(2)证明:构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2.

即f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a

＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，

因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，

所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，

从而得.