Question

【题目】已知函数.

(1)求f(2)，f(x)；

(2)证明：函数f(x)在[1，17]上为增函数；

(3)试求函数f(x)在[1，17]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(2)＝1；.

（2）见解析.

（3）当x＝1时，f(x)有最小值；当x＝17时，f(x)有最大值.

【解析】

令，即可求得，运用换元法，令，则，代入即可求得函数的解析式

利用函数的单调性定义证明即可

利用的结论，即可求得最值

(1)令x＝1，则f(2)＝f(1＋1)＝1.

令t＝x＋1，则x＝t－1，

所以f(t)＝，即f(x)＝.

(2)证明：任取1≤x1≤x2≤17，

因为f(x1)－f(x2)＝－

＝.

又1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，

所以＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在[1，17]上为增函数．

(3)由(2)可知函数f(x)在[1，17]上为增函数，

所以当x＝1时，f(x)有最小值；

当x＝17时，f(x)有最大值.