Question

20．已知边长为$2\sqrt{3}$的菱形ABCD中，∠A=60°，现沿对角线BD折起，使得二面角A-BD-C为120°，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 20π
• B． 24π
• C． 28π
• D． 32π

Answer 1

分析 正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．

解答 解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$=3，
∴AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{3}{2}$
设OO′=x，则
∵O′B=2，O′F=1，
∴由勾股定理可得R²=x²+4=（$\frac{3}{2}$+1）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²，
∴R²=7，
∴四面体的外接球的表面积为4πR²=28π，
故选：C．

点评 本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键．