Question

5．在如图所示的三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是BC，A₁B₁的中点．
（1）求证：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA₁，M为AB上的一点，$AM=\frac{1}{4}AB$，求直线DE与直线A₁M所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点F，连接DF，EF，推导出DF∥AC，从而DF∥平面ACC₁A₁；再推导出EF∥AA₁，从而EF∥平面ACC₁A₁，进而平面DEF∥平面ACC₁A₁，由此能证明DE∥平面ACC₁A₁．
（2）推导出平面ABC⊥平面ABB₁A₁，连接CF，推导出CF⊥平面ABB₁A₁，取BF的中点G，连接DG，EG，从而DG⊥平面ABB₁A₁，进而∠DEG即为直线DE与直线A₁M所成角，由此能求出直线DE与直线A₁M所成角的正切值．

解答 证明：（1）取AB的中点F，连接DF，EF…（1分）
在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，
所以DF∥AC，DF?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
所以DF∥平面ACC₁A₁…（3分）
在矩形ABB₁A₁中，因为E，F分别为A₁B₁，AB的中点，
所以EF∥AA₁，EF?平面 ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，所以EF∥平面ACC₁A₁…（4分）
因为DF∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC₁A₁…（5分）
因为DE?平面DEF，所以DE∥平面ACC₁A₁…（6分）
解：（2）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
连接CF，因为△ABC为正三角形，F为AB中点，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABB₁A₁，
取BF的中点G，连接DG，EG，可得DG∥CF，故DG⊥平面ABB₁A₁，
又因为$AM=\frac{1}{4}AB$，所以EG∥A₁M，
所以∠DEG即为直线DE与直线A₁M所成角…（9分）
设AB=4，在Rt△DEG中，$DG=\frac{1}{2}CF=\sqrt{3}，EG=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$，
所以$tan∠DEG=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{17}}}=\frac{{\sqrt{51}}}{17}$，
故直线DE与直线A₁M所成角的正切值为$\frac{\sqrt{51}}{17}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．