Question

10．设函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），给出下述命题：
①f（x）有最小值；
②当a=0时，f（x）的值域为R；
③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4；
④a=1时，f（x）的定义域为（-1，0）；
则其中正确的命题的序号是②．

Answer 1

分析 函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），是一个对数型复合函数，外层是递增的对数函数，内层是一个二次函数．故可依据两函数的特征来对下面几个命题的正误进行判断

解答 解：①f（x）有最小值不一定正确，因为定义域不是实数集时，
函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）的值域是R，无最小值，
题目中不能排除这种情况的出现，故①不对．
②当a=0时，f（x）的值域为R是正确的，因为当a=0时，函数的定义域不是R，
即内层函数的值域是（0，+∞）故（x）的值域为R故②正确．
③若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4．是不正确的，
由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，可得内层函数的对称轴-$\frac{a}{2}$≤2，可得a≥-4，
由对数式有意义可得4+2a-a-1＞0，解得a＞-3，
故由f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，应得出a＞-3，故③不对；
④a=1时，f（x）=lg（x²+x-2），令x²+x-2＞0，解得：x＞1或x＜-2，
故函数的定义域是（-∞，-2）∪（1，+∞），故④不对；
综上，②正确，
故答案为：②．

点评 本考点地对数型函数的性质，考查用定义判断其最小值的存在性，值域的范围，以及用单调性求参数的范围．较好的考查了答题者用基础知识进行分析判断的能力．