Question

2．已知数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁•b₃=4．
（Ⅰ）若a_n=log₂b_n+3，证明：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b₁+b₃=5，b₁b₃=4，且b₁＜b₃可求b₁，b₃，进而可求公比q，代入等比数列的通项公式即可求解；由a_n=log₂b_n+3=n+2，要证明数列{a_n}是等差数列，只要证明a_n+1-a_n=d（d为常数）；
（Ⅱ）利用裂项相消法可求数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵b₁+b₃=5，b₁•b₃=4，且数列{b_n}（n∈N^*）递增，
∴b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的两根，b₁＜b₃．
∴∴b₁=1，b₃=4
∴q=2（舍去负值）．
∴b_n=2^n-1，
∴a_n=log₂b_n+3=n+2．
∵a_n+1-a_n=（n+1）+2-（n+2）=1，
∴数列{a_n}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，
则S_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n}{3（n+3）}$．

点评 本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力．