Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PC=$\sqrt{2}PA=\sqrt{2}$AC，平面PAC⊥平面ABCD．
（1）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 由已知可得PA⊥AC，结合面面垂直的性质可得PA⊥AB，PA⊥AD，以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标．
（1）由数量积为0可得PD⊥AB，设$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PC}$，再由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$求得λ值，则点E的位置确定；
（2）求出平面PCD的一个法向量，取平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PD-C的余弦值．

解答 解：∵$PC=\sqrt{2}PA=\sqrt{2}AC$，∴PA⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，
以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设PA=2，则$B（{2，0，0}），C（{1，\sqrt{3}，0}），D（{0，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，0}），P（{0，0，2}）$，
（1）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PD}=（2，0，0）•（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）=0$，∴PD⊥AB．
设$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PC}$，
若AE⊥PD，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，即$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PD}+λ\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=0$，
即-4+λ•8=0，得$λ=\frac{1}{2}$，即当E为PC的中点时，AE⊥PD，
则PD⊥平面ABE，
∴当E为PC的中点时PD⊥平面ABE；
（2）设平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{PC}=（1，\sqrt{3}，-2）$$\overrightarrow{PD}=（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，-2）$，
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0$且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0$，
即$x+\sqrt{3}y-2z=0$且$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}y-2z=0$，令$y=\sqrt{3}$，则z=2，x=1，则$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}，2）$，
再取平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
则cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，训练了利用空间向量证明线面垂直及求二面角的平面角，考查计算能力，是中档题．