Question

1．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜，用a_n（n∈N^*）表示第n个星期一选A菜的人数，如果a₁=428，则a₈的值为301．

Answer 1

分析 根据题意可得：设{a_n}为第n个星期一选A的人数，{b_n}为第n个星期一选B的人数，根据这星期一选B菜的，下星期一会有$\frac{3}{10}$改选A菜，可得：a_n+1=a_n×$\frac{4}{5}$+（500-a_n）×$\frac{3}{10}$，变形为：a_n+1-300=$\frac{1}{2}$（a_n-300），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：根据题意可得：设{a_n}为第n个星期一选A的人数，{b_n}为第n个星期一选B的人数，
根据这星期一选B菜的，下星期一会有$\frac{3}{10}$改选A菜，
a_n+1=a_n×$\frac{4}{5}$+（500-a_n）×$\frac{3}{10}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+150，
变形为：a_n+1-300=$\frac{1}{2}$（a_n-300），
∵a₁=428，∴a₁-300=128，
∴数列{a_n-300}是一个等比数列，首项为128，公比为$\frac{1}{2}$，
可得a₈-300=128×$（\frac{1}{2}）^{7}$=1．∴a₈=301．
故答案为：301．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．