Question

已知函数f（x）=

5

2

sinAsinx+cos2x（x∈R），其中A、B、C是△ABC的三个内角，且满足cos（A+

π

4

）=-

2

10

，A∈（

π

4

，

π

2

）
（1）求sinA的值；
（2）若f（B）=

3

2

，且AC=5，求BC的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）直接利用三角函数的恒等变换求出同角的三角函数的值，进一步利用角的恒等变换求三角函数的值．
（2）首先对关系式进行恒等变形进一步利用已知条件求出角B的大小，再利用正弦定理求出结果．

解答： 解：（1）∵A∈(

π

4

，

π

2

)，
∴A+

π

4

∈(

π

2

，

3π

4

)，
即：cos(A+

π

4

)=-

2

10

．
利用同角三角恒等式解得：sin(A+

π

4

)=

7 2

10

，
∴sinA=sin[（A+

π

4

）-

π

4

]=sin（A+

π

4

）cos

π

4

-cos（A+

π

4

）sin

π

4

=

7 2

10

•

2

2

-(-

2

10

•

2

2

)=

4

5

．

（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1-2sin²x=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

，
∵f（B）=

3

2

，
∴sinB=

1

2

，
解得：B=

π

6

或

5π

6

（舍去），
进一步利用正弦定理得：

BC

sinA

=

5

sinB

．
∴BC=8．

点评：本题考查的知识要点：利用三角关系的恒等式求三角函数的值，利用角的恒等变换求三角函数的值，三角函数的最值和正弦定理得应用．属于基础题型．