Question

18．已知首项为1的数列{a_n}的前n项和为S_n，若点（S_n-1，a_n）（n≥2）在函数y=3x+4的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂$\frac{{{a_{n+2}}}}{7}$，且b_n=2ⁿ⁺¹•c_n，其中n∈N^*，求数列{c_n}的前前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点在直线上，列出关系式，推出数列是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）b_n=log₂$\frac{{{a_{n+2}}}}{7}$，且b_n=2ⁿ⁺¹•c_n，化简求出c_n，然后利用错位相减法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）因为点（S_n-1，a_n）（n≥2）在函数y=3x+4的图象上，
所以a_n=3S_n-1+4（n≥2），①…（1分）
所以a₂=3S₁+4=7，a_n+1=3S_n+4，②
由②-①得a_n+1=4a_n（n≥2）…（3分）
所以${a_n}={a_2}×{4^{n-2}}=7×{4^{n-2}}$…（4分）
此式对n=1不成立，所以${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;\;\;（n=1）\\ 7×{4^{n-2}}\;（n≥2）\end{array}\right.$…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;\;\;（n=1）\\ 7×{4^{n-2}}\;（n≥2）\end{array}\right.$，
所以${b_n}={log_2}\frac{{{a_{n+2}}}}{7}={log_2}{4^n}=2n$…（6分）
所以${c_n}=\frac{b_n}{{{2^{n+1}}}}=\frac{n}{2^n}$…7分
所以${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$③
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$④…（8分）
③-④得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$…（10分）
所以$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{{\frac{1}{2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$…（11分）
所以$\frac{1}{2}{T_n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
所以${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$…（12分）

点评 本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．