Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≥0\\{e^x}，x＜0\end{array}$，若对任意的x∈[1-3a，2a-1]，不等式f[a（x+1）-x]≥[f（x）]^a恒成立，则实数a的取值范围是（$\frac{2}{5}$，1]．

Answer 1

分析 由1-3a＜2a-1，解得a＞$\frac{2}{5}$；运用指数函数的单调性，可得f（x）在R上递增，结合指数幂的运算性质，可得不等式f[a（x+1）-x]≥[f（x）]^a，即为f[a（x+1）-x]≥f（ax），则有a（x+1）-x≥ax，由不等式恒成立思想即可得到a的取值范围．

解答 解：由1-3a＜2a-1，解得a＞$\frac{2}{5}$；
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≥0\\{e^x}，x＜0\end{array}$，
当x＞0时，f（x）=3^x递增，
x＜0时，f（x）=e^x递增．
x=0时，f（0）=1，
由函数的单调性可得f（x）在R上递增，
则有不等式f[a（x+1）-x]≥[f（x）]^a，
即为f[a（x+1）-x]≥f（ax），
则有a（x+1）-x≥ax，
即为a≥x在x∈[1-3a，2a-1]上恒成立．
即有a≥2a-1，解得a≤1，
则$\frac{2}{5}$＜a≤1，
故答案为：$（{\frac{2}{5}，1}]$．

点评 本题考查不等式的恒成立问题，主要考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．