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抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P(m,4)到其焦点的距离为5.
(I)求p与m的值;
(II)若直线l:y=kx-1与抛物线C相交于A、B两点,l1、l2分别是该抛物线在A、B两点处的切线,M、N分别是l1、l2与该抛物线的准线交点,求证:
【答案】分析:(1)根据抛物线的定义利用点P(m,4)到其焦点的距离求得p,抛物线方程可得,进而把点P代入求得m.
(2)把直线与抛物线方程联立根据判别式大于0求得k的范围.设A(x′1,y1),B(x′2,y2),根据韦达定理可得到x′1+x2和x1x2的表达式,对抛物线方程进行求导得到抛物线在A处的切线的方程,令y=-1代入求得M点的横坐标,同理可求得N点的横标做,进而根据x1x2=4,求得M点横坐标和N点横坐标的关系,表示出,根据x′1+x2和y′1+y2求得的表达式,根据k的范围证明原式.
解答:解:(I)根据抛物线定义,,解得p=2
∴抛物线方程为x2=4y,
将P(m,4)代入x2=4y,解得m=±4
(II)l:y=kx-1代入x2=4y得x2-4kx+4=0,①
△=16k2-16>0,k2>1,k∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
设A(x′1,y1),B(x′2,y2),则x′1+x2=4k,x1x2=4

所以抛物线在A处的切线l1的方程为

令y=-1,得
同理,得.x1、x2是方程①的两个实根,故x1x2=4,即
从而有

∵x′1+x2=4k,y′1+y2=k(x′1+x2)-2=4k2-2

∵k2>1,∴

点评:本题主要考查了直线与抛物线的关系.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4
10
.求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中,点C满足
OC
=
OA
+
OB
(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•合肥三模)已知抛物线C的方程为x2=2py(p>0),过抛物线上点M(-2
p
,p)作△MAB,A、B两均在抛物线上.过M作x轴的平行线,交抛物线于点N.
(I)若MN平分∠AMB,求证:直线AB的斜率为定值;
(II)若直线AB的斜率为
p
,且点N到直线MA,MB的距离的和为4p,试判断△MAB的形状,并证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(08年山东卷理)(本小题满分14分)

如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为AB.

(Ⅰ)求证:AMB三点的横坐标成等差数列;

(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;

(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

 

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如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为AB.

(Ⅰ)求证:AMB三点的横坐标成等差数列;

(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;

(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为AB.

(Ⅰ)求证:AMB三点的横坐标成等差数列;

(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;

(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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