Question

8．关于下列命题，正确的个数是（　　）
（1）若点（2，1）在圆x²+y²+kx+2y+k²-15=0外，则k＞2或k＜-4
（2）已知圆M：（x+cosθ）²+（y-sinθ）²=1，直线y=kx，则直线与圆恒相切
（3）已知点P是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x²+y²-2y=0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2
（4）设直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12$\sqrt{3}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 点（2，1）在圆外，则k²+2k-8＞0，解得k＜-4，或k＞2，故（1）正确；利用点到直线的距离公式，得到d=$\frac{|kcosθ+sinθ|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，再利用辅助角公式化简得d=|sin（θ+φ）|，从而d≤r，则直线与圆相交或相切，故（2）错误；因为S_{四边形PACB}=2S_Rt△PAC=PA，而PA=$\sqrt{P{C}^{2}-{r}^{2}}$，所以当PC取得最小值时，四边形PACB的面积最小．又因为PC的最小值就是圆心C到直线的距离d，利用点到直线的距离公式即可算出d=$\sqrt{5}$，所以四边形PACB的面积为2，故（3）正确；由直线系M的方程可知，所以直线都是定圆（x-2）²+y²=4的切线，利用圆的半径即可算出正三角形的面积，故（4）正确．

解答 解：对于（1）：∵点（2，1）在圆外，∴k²+2k-8＞0，解得k＜-4，或k＞2，故（1）正确；
对于（2）：圆心M到直线的距离d=$\frac{|kcosθ+sinθ|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=|\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}cosθ+\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}sinθ|$=|sin（θ+φ）|，其中sinφ=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵|sin（θ+φ）|≤1，∴直线与圆相交或相切．故（2）错误；
对于（3）：圆C：x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1，故圆心C（0，1），半径r=1，
圆心C到直线2x+y+4=0的距离d=$\frac{5}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\sqrt{5}$，即PC_min=$\sqrt{5}$，
∵$PA=\sqrt{P{C}^{2}-{r}^{2}}$，∴PA_min=2，
∵${S}_{四边形PACB}=2{S}_{Rt△PAC}=2×\frac{1}{2}PA•r=PA$，∴（S_{四边形PACB}）_min=2，故（3）正确；
对于（4）：直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，即（x-2）cosθ+ysinθ=2
∵点（2，0）到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}=2$，
∴直线系M都是圆C：（x-2）²+y²=4的切线．
设△ABC是M中的直线所能围成的一个正三角形，则AC=2r=4，AB=2AD=2$\sqrt{A{C}^{2}-{r}^{2}}=4\sqrt{3}$
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}=12\sqrt{3}$，故（4）正确．

综上可知，正确的是（1），（3），（4），共有3个．
故选：C

点评 本题考查了点与圆的位置关系，直线系的应用以及直线与圆的位置关系，考查了转化和数形结合等数学思想方法，属于中档题