Question

【题目】对于正整数集合（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.

(1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由；

(2)求证：集合是“和谐集”；

(3)求证：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.

Answer 1

【答案】(1)不是；理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

(1)根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；

(2)集合去掉任意一个元素进行分类讨论,找到符合题意的两个集合即可证明集合是“和谐集”；

(3)判断任意一个元素（）的奇偶性相同,分类讨论,可以证明出若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.

(1)当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：

,经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；

(2)集合所有元素之和为49.

当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；

(3)设正整数集合（，）所有元素之和为,由题意可知

均为偶数,因此任意一个元素（）的奇偶性相同.

若是奇数,所以（）也都是奇数,由于,显然为奇数；

若是偶数, 所以（）也都是偶数.此时设（）显然也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以使得各项都为奇数的“和谐集”,此时各项的和也是奇数,集合中元素的个数也是奇数,

综上所述：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.