【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形, M为PD的中点,PA⊥平面ABCD,PA=AD= 4, AB = 2.
(1)求证:AM⊥平面MCD;
(2)求直线PC与平面MAC所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)根据PA⊥平面ABCD可得PA⊥CD,又CD⊥AD ,所以CD⊥平面PAD,得CD⊥AM,又AM⊥PD,即可证明AM⊥平面MCD(2)建立空间坐标系,利用向量法求解即可.
因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD,
又CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD,
又AM平面PAD,所以CD⊥AM,
又∵PA=AD=4,且M为PD中点,
所以AM⊥PD,
又∵CD∩PD=D,
所以AM⊥平面MCD
(2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,
所以可建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,4),C(2,4,0),M(0,2,2)
设平面MAC的一个法向量为=
,
由⊥
,
⊥
,可得
令,则
=(2,-1,1)
设直线PC与平面MAC所成的角为,
则,
所以直线PC与平面MAC所成角的正弦值为.
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【题目】质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标,由检测结果得到如下的频率分布直方图:
(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的值;记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为
,
,试比较
,
的大小(只要求写出答案);
(Ⅱ)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅,恰有一桶的质量指标大于20;
(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为,乙种食用油的质量指标值服从正态分布
.其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
,设
表示从乙种食用油中随机抽取10桶,其质量指标值位于(14.55,38.45)的桶数,求
的数学期望.
注:①同一组数据用该区问的中点值作代表,计算得
②若,则
,
.
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【题目】为研究某种图书每册的成本费(元)与印刷数
(千册)的关系,收集了一些数据并作了初步处理,得到了下面的散点图及一些统计量的值.
15.25 | 3.63 | 0.269 | 2085.5 | 0.787 | 7.049 |
表中,
.
(1)根据散点图判断: 与
哪一个更适宜作为每册成本费
(元)与印刷数
(千册)的回归方程类型?(只要求给出判断,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于
的回归方程(回归系数的结果精确到0.01);
(3)若每册书定价为10元,则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元?(假设能够全部售出,结果精确到1)
(附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
)
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【题目】已知数集具有性质
;对任意的
、
,
,与
两数中至少有一个属于
.
(1)分别判断数集与
是否具有性质
,并说明理由;
(2)证明:,且
;
(3)当时,若
,求集合
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),它与曲线
C:(y-2)2-x2=1交于A、B两点.
(1)求|AB|的长;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.
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【题目】20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
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【题目】对于正整数集合(
,
),如果去掉其中任意一个元素
(
)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合
为“和谐集”.
(1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由;
(2)求证:集合是“和谐集”;
(3)求证:若集合是“和谐集”,则集合
中元素个数为奇数.
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【题目】下图为某校数学专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)频率分布直方图,已知80-90分数段的学员数为21人。
(1)求该专业毕业总人数N和90-95分数段内的人数;
(2)现欲将90-95分数段内的n名人分配到几所学校,从中安排2人到甲学校去,若n人中仅有两名男生,求安排结果至少有一名男生的概率.
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【题目】北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,
获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格
.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。若每次抽取的结果是相互独立的,求
的平均值和方差.
附: ,其中
.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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