Question

1．已知f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，g（x）=$\frac{k}{x}$，且k为大于1的正整数．
（1）求f（x）在（0，1）上的单调区间
（2）若对任意c＞1均存在a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，判断导函数的正负，由此得到原函数的单调性．
（2）对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，可化为x＞1时，g（x）的图象始终在f（x）的图象的下方，从而作图解得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，
∴f（x）定义域为（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）=-$\frac{1+xlnx}{x（x-1）^{2}}$，
在0＜x＜1时，判断f′（x）的正负，只需判断分子的符号即可，
令h（x）=1+xlnx，
得h′（x）=1+lnx，在0＜x＜1时，h′（x）在区间（$\frac{1}{e}$，1）上是单调递增的，在区间（0，$\frac{1}{e}$）上是单调递减的．
∴h（x）的最小值为h（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴f′（x）在区间（0，1）上恒负，
∴f（x）在区间（0，1）上是单调递减的．
（2）①当k=1时，作函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，与g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N*） 的图象如下：

k=1，对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；
②当k=2时，作函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，与g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N^*） 的图象如下：

k=2，对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；
③当k=3时，作函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，与g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N^*） 的图象如下：

k=3，对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；
④当k=4时，作函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，与g（x）=$\frac{k}{x}$（k∈N^*） 的图象如下：

k=4，不正确．
故答案为3

点评 本题考查学生的作图能力，属于难题．