Question

15．当x∈[-2，1]时，不等式ax³-x²+x+1≥0，则a的取值范围是{-1}．

Answer 1

分析 分x=0，x＞0，x＜0三种情况讨论，分离参数a后利用导数求函数的最值，从而求得实数a的取值范围．

解答 解：当x=0时，对于任意实数a不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立；
当0＜x≤1时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于$a≥-\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$．
设t=$\frac{1}{x}$ （t≥1），则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
当t≥1时，f′（t）＜0，
∴f（t）=-t³-t²+t为减函数，
∴f（t）_max=f（1）=-1-1+1=-1，
∴a≥-1；
当-2≤x＜0时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于$a≤-\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$．
设t=$\frac{1}{x}$ （t$≤-\frac{1}{2}$），
则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
当t∈（-∞，-1）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，
当t∈（-1，-$\frac{1}{2}$）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，
∴f（t）_min=f（-1）=-1．
∴a≤-1．
综上a=-1，
即对于一切x∈[-2，1]，使不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立的实数a的取值范围是{-1}，
故答案为：{-1}．

点评 本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，属中高档题．