Question

7．已知U=R，关于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是$\left\{{x\left|{x≠-\frac{1}{a}，x∈R}\right.}\right\}$，且a＞b，则$t=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|-|x-3|≤m²-3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁_UB）=$[{2\sqrt{2}，4}）$．

Answer 1

分析 据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可．

解答 解：∵关于x的不等式ax²+2x+b＞0（a≠0）的解集是$\left\{{x\left|{x≠-\frac{1}{a}，x∈R}\right.}\right\}$，
∴a＞0，且对称轴-$\frac{2}{2a}$=$-\frac{1}{a}$，
则判别式△=4-4ab=0，即ab=1，
则$t=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab}{a-b}$=a-b+$\frac{2}{a-b}$，
∵a＞b，∴a-b＞0，
则t=a-b+$\frac{2}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{2}{a-b}}$=2$\sqrt{2}$，
即A=[2$\sqrt{2}$，+∞），
∵|x+1|-|x-3|≤|3-（-1）|=4，
∴若|x+1|-|x-3|≤m²-3m，x∈R恒成立，
则m²-3m≥4，即m²-3m-4≥0，
即m≥4或m≤-1，
即B={m|m≥4或m≤-1}，
则∁_UB═{m|-1＜m＜4}，
则A∩（∁_UB）={m|2$\sqrt{2}$≤m＜4}，
故答案为：$[{2\sqrt{2}，4}）$

点评 本题主要考查集合的基本运算，根据基本不等式以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件是解决本题的关键．