Question

2．已知数列{a_n}的首项为a（a≠0），前n项和为S_n，且有S_n+1=tS_n+a（t≠0），b_n=S_n+1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）当t≠1时，若c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，求能够使数列{c_n}为等比数列的所有数对（a，t）．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系求出数列的通项公式，结合等比数列的定义即可证明数列{a_n}是等比数列；
（2）求出数列{c_n}的通项公式，结合等比数列的定义进行求解．

解答 解：（1）当n=1时，由S₂=tS₁+a解得a₂=at
当n≥2时，S_n=tS_n-1+a，
∴（S_n+1-S_n）=t（S_n-S_n-1），即a_n+1=ta_n
又a₁=a≠0，综上有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=t（n∈N*）$，即{a_n}是首项为a，公比为t的等比数列，
∴${a_n}=a{t^{n-1}}$…（3分）
（2）∵t≠1，∴${b_n}=1+\frac{{a-a{t^n}}}{1-t}$…（4分）
∴${c_n}=2+（1+\frac{a}{t-1}）n-\frac{a}{1-t}（t+{t^2}+…+{t^n}）=2+（1+\frac{a}{t-1}）n-\frac{{at（1-{t^n}）}}{{{{（1-t）}^2}}}$=$2-\frac{at}{{{{（1-t）}^2}}}+（1+\frac{a}{t-1}）n+\frac{{a{t^{n+1}}}}{{{{（1-t）}^2}}}$…（6分）
由题设知{c_n}为等比数列，
所以有，$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{at}{{{{（1-t）}^2}}}=0\\ \frac{1-t+a}{1-t}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ t=2\end{array}\right.$，即满足条件的数对是（1，2）．…（8分）
（或通过{c_n}的前3项成等比数列先求出数对（a，t），再进行证明）

点评 本题主要考查等比数列的判断和证明，以及等比数列通项公式的应用，考查学生的运算和推理能力．