Question

10．已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）．
（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而求出函数的定义域；
（Ⅱ）问题转化为a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，通过绝对值的几何意义求出（|x-1|+|x-5|）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，
有不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，-①，
当x≤1时，不等式①等价于-2x+1＞0，即x＜$\frac{1}{2}$，∴x＜$\frac{1}{2}$；
当1＜x≤5时，不等式①等价于-1＞0，即x∈∅，∴x∈∅；
当x＞5时，不等式①等价于2x-11＞0，即x＞$\frac{11}{2}$，∴x＞$\frac{11}{2}$；
综上函数f（x）的定义域为（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{11}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥4（x=1或x=5时取等号），
即a＜（|x-1|+|x-5|）_min=4，∴a＜4．
∴a的取值范围是（-∞，4）．

点评 本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识，考查推理论证能力及运算求解能力．